Question

已知極坐標(biāo)的極點在平面直角坐標(biāo)系的原點O處，極軸與x軸的正半軸重合，且長度單位相同．曲線C的方程是ρ=2

2

sin（θ-

π

4

），直線l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=2+tsinα

（t為參數(shù)，0≤a＜π），設(shè)P（1，2），直線l與曲線C交于A，B兩點．
（1）當(dāng)a=0時，求|AB|的長度；    
（2）求|PA|²+|PB|²的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程化成普通方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立即可得出；
（2）設(shè)t₁，t₂為相應(yīng)參數(shù)值t²+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|PA|²+|PB|²=(t1+t2)2-2t1t2即可得出．

解答： 解：（1）曲線C的方程是ρ=2

2

sin（θ-

π

4

），化為ρ2=2

2

ρ(

2

2

sinθ-

2

2

cosθ)，
化為ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，
∴x²+y²=2y-2x，
曲線C的方程為（x+1）²+（y-1）²=2．
當(dāng)α=0時，直線l：y=2，
代入曲線C可得x+1=±1．解得x=0或-2．
∴|AB|=2．
（2）設(shè)t₁，t₂為相應(yīng)參數(shù)值t²+（4cosα+2sinα）t+3=0，△＞0，
∴

3

5

＜sin2(α+φ)≤1，
∴t₁+t₂=-（4cosα+2sinα），t₁t₂=3．
∴|PA|²+|PB|²=(t1+t2)2-2t1t2=（4cosα+2sinα）²-8=20sin²（α+φ）-6，
∴|PA|²+|PB|²∈（6，14]．

點評：本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、參數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．