正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，D是AC中點，且AB1⊥BC1
（Ⅰ）求側(cè)棱AA1的長；
（Ⅱ）求二面角D-BC1-C的余弦值．

（Ⅰ）證明：取A1B1中點E，連接BC1，EC1，
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，∴AB1⊥EC1
∵AB1⊥BC1，BC1∩EC1=C1，
∴AB1⊥平面BEC1，∴AB1⊥BE
∴△ABB1∽△BB1E
∴
∵AB=2，∴
∴    
（Ⅱ）解：過D做DO⊥BC，垂足為O，過O做OG⊥BC1，垂足為G，連接DG，則DG⊥BC1，
∴∠OGD為二面角D-BC1-C的平面角
在△CBC1中，由等面積可得OG==
∵OD==
∴∠OGD=45°
∴二面角D-BC1-C的余弦值為．
分析：（Ⅰ）取A1B1中點E，連接BC1，EC1，可得△ABB1∽△BB1E，從而可求側(cè)棱AA1的長；
（Ⅱ）過D做DO⊥BC，垂足為O，過O做OG⊥BC1，垂足為G，連接DG，則DG⊥BC1，故∠OGD為二面角D-BC1-C的平面角，計算OD，OG，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查面面角，考查側(cè)棱長的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=
AA13
=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖在 正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，底面邊長為
2

（1）設(shè)側(cè)棱長為1，求證A B1⊥B C1；
（2）設(shè)A B1與B C1成600角，求側(cè)棱長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AA1=4，AB=2，M是AC的中點，點N在AA1上，AN=
1
4
．
（1）求BC1與側(cè)面AC C1 A1所成角的正弦值；
（2）證明：MN⊥B C1；
（3）求二面角C-C1B-M的平面角的正弦值，若在△A1B1C1中，
C1E
=
1
3
EA1
，
C1F
=
1
4
FB1
，
C1H
=x
C1A1
+y
C1B1
，求x+y的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB=數(shù)學公式=a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：1996年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖：在正三棱柱ABC-A1 B1 C1中，AB==a，E，F(xiàn)分別是BB1，CC1上的點且BE=a，CF=2a．
（Ⅰ）求證：面AEF⊥面ACF；
（Ⅱ）求三棱錐A1-AEF的體積．

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