已知橢圓的右焦點為
,
為橢圓的上頂點,
為坐標原點,且兩焦點和短軸的兩端構(gòu)成邊長為
的正方形.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)是否存在直線交與橢圓于
,
,且使
,使得
為
的垂心,若存在,求出
點的坐標,若不存在,請說明理由.
(1) ;(2)
.
【解析】
試題分析:(1)利用正方形的性質(zhì),橢圓的性質(zhì);(2)由直線的方程于橢圓的方程組成方程組,消去
,由
及
綜合求得.
試題解析:(1)由兩焦點與短軸的兩端點構(gòu)成邊長為的正方形,則
,
,
所以橢圓方程為.
(4分)
(2)假設(shè)存在直線交橢圓于
兩點,且使
為
的垂心,設(shè)
,
,
∵,
,則
,故直線
的斜率
,∴設(shè)直線
的方程為
,
由得
,由題意知
,即
, (7分)
且,
,由題意應有
,
而,
,
故,
(9分)
∴,
解得或
,經(jīng)檢驗,當
時,
不存在,故舍去
,
∴當時,所求直線方程為
滿足題意,
綜上所述,存在直線,且直線
的方程為
,
(14分)
考點:橢圓的性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
AC |
A、
| ||
B、2 | ||
C、
| ||
D、
|
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科目:高中數(shù)學 來源:2013-2014學年四川成都外國語學校高三下二月月考文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為F2(1,0),點
在橢圓上.
(1)求橢圓方程;
(2)點在圓
上,M在第一象限,過M作圓
的切線交橢圓于P、Q兩點,問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值?如果是,求出定值,如不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年云南省昆明市高三復習適應性檢測文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓的右焦點為
,上頂點為B,離心率為
,圓
與
軸交于
兩點
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,過點
與圓
相切的直線
與
的另一交點為
,求
的面積
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年江蘇省高三12月質(zhì)量檢測數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
已知橢圓的右焦點為
,
點在橢圓上,以
點為圓心的圓與
軸相切,且同時與
軸相切于橢圓的右焦點
,則橢圓
的離心率為 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2011-2012學年河北省保定市高三上學期期末調(diào)研考試理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知橢圓 的右焦點為
且
,設(shè)短軸的一個端點為
,原點
到直線
的距離為
,過原點和
軸不重合的直線與橢圓
相交于
兩點,且
.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 是否存在過點的直線
與橢圓
相交于不同的兩點
且使得
成立?若存在,試求出直線
的方程;若不存在,請說明理由.
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