已知橢圓的右焦點為 ，為橢圓的上頂點，為坐標原點，且兩焦點和短軸的兩端構(gòu)成邊長為的正方形.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）是否存在直線交與橢圓于， ，且使，使得為的垂心，若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1） ；（2）.

【解析】

試題分析：（1）利用正方形的性質(zhì)，橢圓的性質(zhì)；（2）由直線的方程于橢圓的方程組成方程組，消去，由及綜合求得.

試題解析：（1）由兩焦點與短軸的兩端點構(gòu)成邊長為的正方形，則，，

所以橢圓方程為.             （4分）

（2）假設(shè)存在直線交橢圓于兩點，且使為的垂心，設(shè)，，

∵，，則，故直線的斜率，∴設(shè)直線的方程為，

由得，由題意知，即，       （7分）

且，，由題意應有，

而，，

故，                     （9分）

∴，

解得或，經(jīng)檢驗，當時，不存在，故舍去，

∴當時，所求直線方程為滿足題意，

綜上所述，存在直線，且直線的方程為,              （14分）

考點：橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓的右焦點為F，右準線為l，A、B是橢圓上兩點，且|AF|：|BF|=3：2，直線AB與l交于點C，則B分有向線段
AC
所成的比為（　　）
A、
1
2
B、2
C、
2
3
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年四川成都外國語學校高三下二月月考文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為F2（1，0），點 在橢圓上.

（1）求橢圓方程；

（2）點在圓上，M在第一象限，過M作圓的切線交橢圓于P、Q兩點，問|F2P|+|F2Q|+|PQ|是否為定值？如果是，求出定值，如不是，說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年云南省昆明市高三復習適應性檢測文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的右焦點為，上頂點為B，離心率為，圓與軸交于兩點

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，過點與圓相切的直線與的另一交點為，求的面積

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年江蘇省高三12月質(zhì)量檢測數(shù)學試卷（解析版） 題型：填空題

已知橢圓的右焦點為，點在橢圓上，以點為圓心的圓與軸相切，且同時與軸相切于橢圓的右焦點，則橢圓的離心率為         ．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年河北省保定市高三上學期期末調(diào)研考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓 的右焦點為且,設(shè)短軸的一個端點為,原點到直線的距離為，過原點和軸不重合的直線與橢圓相交于兩點，且.

(1) 求橢圓的方程；

(2) 是否存在過點的直線與橢圓相交于不同的兩點且使得成立？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

 

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