Question

16．在等差數(shù)列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n+b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）依題意 a₃+a₈-（a₂+a₇）=2d=-6，從而d=-3．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由數(shù)列{a_n+b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，求出${b_n}={2^{n-1}}-{a_n}$=3n-2+2^n-1，再分組求和即可

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d．
由已知（a₃+a₈）-（a₂+a₇）=2d=-6，
∴d=-3，
∴a₂+a₇=2a₁+7d=-23m，
得 a₁=-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=-3n+2
（2）由數(shù)列{a_n+b_n}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a_n}+{b_n}={2^{n-1}}$，
∴${b_n}={2^{n-1}}-{a_n}$=3n-2+2^n-1，
∴S_n=[1+4+7+…+（3n-2）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=$\frac{{n（{3n-1}）}}{2}+{2^n}-1$，
=$\frac{{3{n^2}+n}}{2}$

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．