Question

4．如圖，四邊形ABCD是梯形．四邊形CDEF是矩形．且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=90°，AB∥CD，AB=AD=DE=$\frac{1}{2}$CD，M是線段AE上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）試確定點(diǎn)M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF．連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，利用三角形中位線定理能夠證明AC∥平面DMF．
（Ⅱ）過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l，過點(diǎn)M作MG⊥AD于G，過G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，由已知條件推導(dǎo)出∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角，由此能求出所求二面角的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)M是線段AE的中點(diǎn)時(shí)，AC∥平面DMF．
證明如下：
連結(jié)CE，交DF于N，連結(jié)MN，
由于M、N分別是AE、CE的中點(diǎn)，所以MN∥AC，
由于MN?平面DMF，又AC不包含于平面DMF，
∴AC∥平面DMF．（4分）
（Ⅱ）過點(diǎn)D作平面DMF與平面ABCD的交線l，
∵AC∥平面DMF，∴AC∥l，
過點(diǎn)M作MG⊥AD于G，
∵平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，
∴DE⊥平面ABCD，∴平面ADE⊥平面ABCD，
∴MG⊥平面ABCD，
過G作GH⊥l于H，連結(jié)MH，則直線l⊥平面MGH，∴l(xiāng)⊥MH，
∴∠MHG是平面MDF與平面ABCD所成銳二面角的平面角．（8分）
設(shè)AB=2，則DG=1，GH=DGsin∠GDH=DGsin∠DAC=1×$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，MG=$\frac{1}{2}DE$=1（11分）
∴cos∠MHG=$\frac{GH}{MH}$=$\frac{2}{3}$，
∴所求二面角的余弦值為$\frac{2}{3}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定及證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．