Question

在各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{a_n}中，已知2a_n=3a_n+1且a₂•a₅=

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（1）求證{a_n}為等比數(shù)列
（2）試問(wèn)

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是這個(gè)等比數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，指明是第幾項(xiàng)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將2a_n=3a_n+1化為

an+1

an

=

2

3

，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明{a_n}為等比數(shù)列；
（2）由（1）求出公比，再由題意和通項(xiàng)公式求出a₁，即可得an=

3

2

•(

2

3

)n-1，把

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代入通項(xiàng)公式求出n即可．

解答： 證明：（1）由題意得，2a_n=3a_n+1，則

an+1

an

=

2

3

，
所以{a_n}為以

2

3

為公比的等比數(shù)列；
解：（2）由（1）得，q=

2

3

，
又a₂•a₅=

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，所以（a₁•q）•（a₁•q⁴）=

8

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，
又各項(xiàng)為正數(shù)，所以解得a₁=

3

2

，
則an=

3

2

•(

2

3

)n-1，
令

3

2

•(

2

3

)n-1=

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，得n-1=5，則n=6，
所以

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是這個(gè)等比數(shù)列中的項(xiàng)，是第6項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用等比數(shù)列的證明方法：定義法，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，熟練掌握定義和公式是解題的關(guān)鍵．