Question

（2011•東城區(qū)一模）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形．PB=PD，E為PA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面BDE．

Answer 1

分析：（I）設(shè)菱形對角線的交點(diǎn)為O，連接EO，可得OE是三角形APC的中位線，得到EO∥PC，結(jié)合直線與平面平行的判定定理，得到PC∥平面BDE；
（II）連接PO，利用等腰三角形的中線與高合一，得到OP⊥BD．再根據(jù)菱形ABCD中，BD⊥AC，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理，得到BD⊥平面PAC．最后用平面與平面垂直的判定定理，得到平面PAC⊥平面BDE．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)O為AB、CD的交點(diǎn)，連接EO
∵E，O分別為PA，AC的中點(diǎn)，
∴EO∥PC．
∵EO?平面BDE，PC?平面BDE
∴PC∥平面BDE．…（6分）
（Ⅱ）證明：連接OP
∵PB=PD，O為BD的中點(diǎn)
∴OP⊥BD．
又∵在菱形ABCD中，BD⊥AC
且OP∩AC=O
∴BD⊥平面PAC
∵BD?平面BDE
∴平面PAC⊥平面BDE．  …（13分）

點(diǎn)評：本題以四棱錐為例，考查了空間的直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，屬于基礎(chǔ)題．