Question

設(shè)曲線C的方程是y=x³－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線C₁.

（1）寫出曲線C₁的方程；

（2）證明：曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱.

Answer 1

⑴；⑵證明見(jiàn)解析.

解析:

（1）C₁：……………………………………①

（2）分析：要證明曲線C₁與C關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱，只需證明曲線C₁上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C上，反過(guò)來(lái)，曲線C上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C₁上即可.

證明：設(shè)P₁（x₁，y₁）為曲線C₁上任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)A（，）的對(duì)稱點(diǎn)為

P（t－x₁，s－y₁），把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程，左=s－y₁，右=（t－x₁）³－（t－x₁）.

由于P₁在曲線C₁上，∴y₁－s=（x₁－t）³－（x₁－t）.

∴s－y₁=（t－x₁）³－（t－x₁），即點(diǎn)P（t－x₁，s－y₁）在曲線C上.

同理可證曲線C上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)都在曲線C₁上.

從而證得曲線C與C₁關(guān)于點(diǎn)A（，）對(duì)稱.