Question

1．空間四邊形ABCD的各邊及對角線均相等，E是邊BC的中點，那么（　�。�

• A． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＜$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• B． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• C． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$
• D． $\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$不能比較大小

Answer 1

分析 四邊形ABCD的各邊及對角線均相等，且設為a，運用等邊三角形的性質，可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=0，取BD的中點F，連接AF，EF，由余弦定理和向量的數(shù)量積的定義，計算可得$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=-$\frac{1}{4}$a²＜0，即可得到結論．

解答 解：四邊形ABCD的各邊及對角線均相等，且設為a，
E是邊BC的中點，
即有AE⊥BC，即$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
取BD的中點F，連接AF，EF，
可得AF=AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EF=$\frac{1}{2}$a，
由余弦定理可得，cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$
=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{3}{4}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$=|$\overrightarrow{AE}$|•|$\overrightarrow{CD}$|•（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•a•（-$\frac{\sqrt{3}}{6}$）
=-$\frac{1}{4}$a²＜0，
故選C．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的運算和性質，運用向量垂直的條件和定義，以及余弦定理的運用，屬于基礎題．