Question

11．△ABC中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$O為△ABC內(nèi)切圓的圓心，且AB=2，AC=3，BC=4．
（1）求證：$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）求$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$的值．

Answer 1

分析 （1）由△ABC中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，G為重心，D為中點，有$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$，運用中點的向量表示即可得證；
（2）利用三角形的內(nèi)切圓的切線長定理、向量的運算和數(shù)量積定義即可得出．

解答 解：（1）證明：△ABC中，$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，
可得G為△ABC的重心，D為BC的中點，
即有$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）；
（2）設(shè)點M，E，F(xiàn)分別是內(nèi)切圓與三邊相切的切點．
設(shè)AE=AF=x，CM=CF=y，BM=BE=z．
則 $\left\{\begin{array}{l}{x+z=2}\\{x+y=3}\\{y+z=4}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{1}{2}$．
設(shè)∠OAC=θ．在Rt△OAF中，AO•cosθ=AF=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AO}$=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AO}$|cosθ=|$\overrightarrow{AC}$|•|$\overrightarrow{AF}$|=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了三角形重心的向量表示和性質(zhì)，以及內(nèi)切圓的性質(zhì)、向量的運算和數(shù)量積運算，屬于中檔題．