Question

【題目】如圖1，在等腰直角三角形中，，，分別是上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn)將沿折起，得到如圖2所示的四棱椎，其中．

證明：平面；

求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析 （2）

【解析】

試題（1）F為ED的中點(diǎn)，連接OF,A’F，根據(jù)已知計(jì)算出的長(zhǎng)度，滿(mǎn)足勾股定理，, A’F為等腰△A’DE底邊的中線(xiàn)，,,證得線(xiàn)面垂直，線(xiàn)線(xiàn)垂直，再線(xiàn)面垂直;(2)過(guò)點(diǎn)O作的延長(zhǎng)線(xiàn)于，連接．利用（1）可知：平面，根據(jù)三垂線(xiàn)定理得，所以為二面角的平面角．在直角中，求出即可；

試題解析：

證明: (1)設(shè)F為ED的中點(diǎn)，連接OF,A’F,計(jì)算得A’F=2，OF=1

∵A’F為等腰△A’DE底邊的中線(xiàn)，∴A’F⊥DE

∵OF在原等腰△ABC底邊BC的高線(xiàn)上，

∴OF⊥DE

又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,

∴DE⊥平面A’OF

∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O

在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF

∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE 6分

(2)：如答圖1，過(guò)O作CD的垂線(xiàn)交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，連接A’M

∵A’O⊥平面BCDE,CD平面BCDE, ∴CD⊥A’O ∵OMA’O="O," ∴CD⊥平面A’OM

∵A’M平面A’OM∴CD⊥A’M ∴∠A’MO為所求二面角的平面角

在Rt△OMC中，OM==, A’O=于是在Rt△A’OM中，A’M=∴∠A’OM=13分