Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若時(shí)， 不單調(diào)，求的取值范圍；

（2）設(shè)，若， 時(shí)， 時(shí)， 有最小值，求最小值的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)不單調(diào)可得導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有解，然后通過分離參數(shù)的方法將問題轉(zhuǎn)化為求在上的取值范圍的問題解決，然后利用基本不等式可得所求．（2）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)可得在上單調(diào)遞增，又，故可得在上存在零點(diǎn)，從而可得．然后再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域即可得到所求．

試題解析：

（1）∵，

∴,

∵時(shí)， 不單調(diào)，

∴方程在上有解，

∴在上有解，

又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)才成立，故此處無等號(hào)）

∴．

∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（2）由題意得，

∴.

設(shè)，則，

又， ，

∵，

∴單調(diào)遞增，

又，

∴存在，使得.

且當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

∴

.

設(shè)， ，

則，

∴在上單調(diào)遞減，

又，

∴.

故最小值的取值范圍為．