【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E為PC上一點,且PE= PC.
(Ⅰ)求PE的長;
(Ⅱ)求證:AE⊥平面PBC;
(Ⅲ)求二面角B﹣AE﹣D的度數(shù).
【答案】解:(Ⅰ)∵四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,
AB=AP=2,DA=DC=1,E為PC上一點,
且PE= PC,
∴AC= = ,
∴PC= = = ,
∴PE= PC= .
(Ⅱ)證明:以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,2),E( , , ),B(2,0,0),
=( , , ), =(2,0,﹣2),
=(1,1,﹣2),
= =0, = =0,
∴AE⊥PB,AE⊥PC,
又PB∩PC=P,∴AE⊥平面PBC.
(Ⅲ)解:D(0,1,0), =(2,0,0), =(0,1,0), =( , , ),
設平面ABE的法向量 =(x,y,z),
則 ,取y=1,得 =(0,1,﹣1),
設平面ADE的法向量 =(a,b,c),
則 ,取a=1,得 =(1,0,﹣1),
設二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)為θ,
則cosθ= = = .
∴θ=60°,
∴二面角B﹣AE﹣D的度數(shù)為60°.
【解析】(Ⅰ)利用勾股定理求出AC長,從而得到PC長,由此能求出PE.(Ⅱ)以A為原點,AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能證明AE⊥平面PBC.(Ⅲ)求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量,利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度數(shù).
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面垂直的判定的相關知識,掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲C的極坐標方程ρ=2sinθ,設直線L的參數(shù)方程 ,(t為參數(shù))設直線L與x軸的交點M,N是曲線C上一動點,求|MN|的最大值 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 公比q>0,S2=2a2﹣2,S3=a4﹣2.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn= ,Tn為{bn}的前n項和,求T2n .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)= x2+alnx(a<0).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線斜率為 ,求實數(shù)a的值;
(2)求f(x)的單調區(qū)間;
(3)設g(x)=x2﹣(1﹣a)x,當a≤﹣1時,討論f(x)與g(x)圖象交點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】定義域為R的偶函數(shù)f(x)滿足x∈R,有f(x+2)=f(x)﹣f(1),且當x∈[2,3]時,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,若函數(shù)y=f(x)﹣loga(x+1)恰有三個零點,則a的取值范圍是( )
A.(0, )
B.(0, )
C.( , )
D.( , )
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【題目】已知橢圓 (a>b>0)過點P(2,1),且離心率為 .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設O為坐標原點,在橢圓短軸上有兩點M,N滿足 ,直線PM、PN分別交橢圓于A,B.
(i)求證:直線AB過定點,并求出定點的坐標;
(ii)求△OAB面積的最大值.
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