已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).


(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)是否不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論;
(3)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B的大小.

(1)(2)連結(jié)AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PC又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC∵不論點(diǎn)E在何位置,都有AE?平面PAC∴不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE(3)

解析試題分析:(1)由三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,
側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.                   1分
,即四棱錐P-ABCD的體積為.   3分
(2)不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.                   4分
證明如下:連結(jié)AC,∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC.          5分
∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PC.          6分

又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.          7分
∵不論點(diǎn)E在何位置,都有AE?平面PAC.
∴不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE.          8分
(3)解法1:在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F,連結(jié)BF.
∵AD=AB=1,DE=BE=,AE=AE=,
∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
從而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角.                 10分
在Rt△ADE中,DF=, ∴BF=.          11分
又BD=,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=,                12分
∴∠DFB=,           
即二面角D-AE-B的大小為.                     13分
解法2:如圖,以點(diǎn)C為原點(diǎn),CD,CB,CP所在的直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),               9分

從而=(0,1,0),=(-1,0,1),=(1,0,0),=(0,-1,1).
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為

,取
,取 11分
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ,
,    12分
∴θ=,即二面角D-AE-B的大小為     .    13分
考點(diǎn):三視圖,空間線面垂直及線線角
點(diǎn)評(píng):本題先由三視圖得到幾何體的特征,把握住CD,CB,CP兩兩垂直,因此可借助于空間向量法判定線面的垂直關(guān)系與求解二面角

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(Ⅰ)求證:⊥平面
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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