Question

【題目】已知 ，B（0，2），C（1，0），斜率為 的直線l過(guò)點(diǎn)A，且l和以C為圓心的圓相切．
（1）求圓C的方程；
（2）在圓C上是否存在點(diǎn)P，使得 ，若存在，求出所有的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在說(shuō)明理由；
（3）若不過(guò)C的直線m與圓C交于M，N兩點(diǎn)，且滿足CM，MN，CN的斜率依次為等比數(shù)列，求直線m的斜率．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，B（0，2），C（1，0），斜率為 的直線l過(guò)點(diǎn)A，

∴l(xiāng)：x﹣2y+4=0，

∵直線l和圓C相切，∴設(shè)圓C的半徑為r，

則 ，

∴圓C：（x﹣1）2+y2=5

（2）解：設(shè)P（x，y），則由PB2=8PA2，得7x2+7y2+16x﹣20y+22=0，

又∵點(diǎn)P在圓C上，∴ ，

相減得：3x﹣2y+5=0，

代入x2+y2﹣2x=4，得13x2+22x+9=0，

解得x=﹣1或 ，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為P（﹣1，1）或

（3）解：若直線m的斜率不存在，則MN的斜率也不存在，不合題意：

若直線m的斜率存在且為k，設(shè)直線m：y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），

直線m與圓（x﹣1）2+y2=5聯(lián)立，得（1+k2）x2+2（kb﹣1）x+b2﹣4=0，

由k2=kCMkCN，得 ，

即k2（x1x2﹣x1﹣x2+1）=（kx1+b）（kx2+b）．

整理得： ，

∵m不過(guò)C點(diǎn)，∴k+b≠0，∴上式化為k（x1+x2）+b﹣k=0．

將 代入得：k2b﹣k+k3﹣b=0，

即（k2﹣1）（k+b）=0，

∵k+b≠0，∴k2=1，

∴直線m的斜率為±1

【解析】（1）利用直線的斜率及其上的點(diǎn)求得直線的方程，再利用圓與直線相切求得圓的半徑，從而求得圓的方程；（2）利用點(diǎn)P在圓上和線段PA，PB的長(zhǎng)度關(guān)系得到x，y的方程組，解方程組得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）分直線m的斜率存在與不存在兩種情況，依據(jù)題意直線m的斜率存在，利用直線m與圓的位置關(guān)系及CM，MN，CN的斜率依次為等比數(shù)列，以及根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)得到k，b的值，最終解的k的值.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與圓的三種位置關(guān)系的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握直線與圓有三種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)．