Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠ABC=45°，直角梯形ABCD與矩形ADQP所在平面垂直，將矩形ADQP沿PD對(duì)折，使得翻折后點(diǎn)Q落在BC上，設(shè)DC=1。

（1）求證：AQ⊥DQ；
（2）求線(xiàn)段AD的最小值，并指出此時(shí)點(diǎn)Q的位置；
（3）當(dāng)AD長(zhǎng)度最小時(shí)，求直線(xiàn)BD與平面PDQ所成的角的正弦值。

Answer 1

解：（1）∵平面ABCD⊥平面ADP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，
由已知PQ⊥DQ，
∴AQ⊥DQ。
（2）設(shè)CQ=x，AD=y
由（1）得AQ⊥DQ
在Rt△AQD中，
∴
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)
所以AD最小值為2，此時(shí)CQ=1。
（3）易得DQ⊥平面PAQ，則平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交線(xiàn)，連接BD交AQ于E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PQ于F，連接FD，則EF⊥平面PDQ
∴∠EDF就是BD與平面PDQ所成的角
由已知得，PQ=2
∴△PAQ為等腰直角三角形，
則可得
∴。