已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的三視圖如圖所示，
（1）求證：BB1∥平面D1AC；
（2）求證：平面D1AC⊥平面B1BDD1；
（3）求此四棱臺ABCD-A1B1C1D1的體積．
分析：（1）根據(jù)三視圖得到原圖的線面關系，連接AC、BD交于點O，連接D1O，可證B1B∥D1O，而B1B?平面D1AC，D1O?平面D1AC滿足線面平行判定定理的條件，從而可證得結論；
（2）欲證平面D1AC⊥平面B1BDD1，根據(jù)面面垂直的判定定理可知只需在平面D1AC內(nèi)找一直線垂直平面B1BDD1即可，AC⊥BD，D1D⊥AC，D1D∩BD=D，滿足線面垂直的判定定理；
（3）先分別求出上下底面的面積，然后利用體積公式V=
1
3
（S1+
S1S2
+S2）×h進行求解即可．
解答：（1）根據(jù)四棱臺ABCD-A1B1C1D1的三視圖可知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，
D1D⊥平面ABCD，D1D⊥平面A1B1C1D1，
證明：連接AC、BD交于點O，連接D1O，
B1D1=
2
，BD=2
2
，由題意可知B1D1∥BO，且B1D1=BO
∴四邊形B1D1OB為平行四邊形則B1B∥D1O
∵B1B?平面D1AC，D1O?平面D1AC
∴BB1∥平面D1AC；
（2）根據(jù)正方形ABCD可得AC⊥BD
而D1D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴D1D⊥AC，而D1D∩BD=D
∴AC⊥平面B1BDD1；
而AC?平面D1AC
∴平面D1AC⊥平面B1BDD1；
（3）記四邊形A1B1C1D1的面積為S1，四邊形ABCD的面積為S2，∴S1=1，S2=4
四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為2
∴V=
1
3
（S1+
S1S2
+S2）×2=
2
3
×（1+2+4）=
14
3
點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定和臺體的體積，同時考查了空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1（如圖）中，底面ABCD是正方形，且DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a．
（1）求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；
（2）試在平面ADD1A1中確定一個點F，使得FB1⊥平面BCC1B1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側棱A1A垂直于底面ABCD．底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（I）求證：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（II）求側棱DD1與底面ABCD所成的角；
（III）求四棱臺ABCD-A1B1C1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側棱A1A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（1）求證：平面A1ACC1丄平面B1BDD1
（2）求四棱錐A-CDD1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

（必做題）先閱讀：如圖，設梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a，b（a＜b），高為h，求梯形的面積．
方法一：延長DA、CB交于點O，過點O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F，則EF=h．
設OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴
x
x+h
=
a
b
，即x=
ah
b-a
．
∴S梯形ABCD=S△ODC-S△OAB=
1
2
b（x+h）-
1
2
ax=
1
2
（b-a）x+
1
2
bh=
1
2
（a+b）h．
方法二：作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN，過點A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ，則△AMP∽△ADQ．
設梯形AMNB的高為x，MN=y，
x
h
=
y-a
b-a
⇒y=a+
b-a
h
x，∴S梯形ABCD=
∫
h
0
（a+
b-a
h
x）dx=（ax+
b-a
2h
x2）
|
h
0
=ah+
b-a
2h
•h2=
1
2
（a+b）h．
再解下面的問題：
已知四棱臺ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S1，S2（S1＜S2），棱臺的高為h，類比以上兩種方法，分別求出棱臺的體積（棱錐的體積=
1
3
×底面積×高）．

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