精英家教網(wǎng)已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1（如圖）中，底面ABCD是正方形，且DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a．
（1）求異面直線AB1與DD1所成角的余弦值；
（2）試在平面ADD1A1中確定一個點F，使得FB1⊥平面BCC1B1．
分析：（1）以D為原點，DA、DC、DD1所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出要用的點的坐標(biāo)，寫出兩條直線所對應(yīng)的方向向量，求出異面直線所成的角．
（2）設(shè)出點F的坐標(biāo)，根據(jù)線面FB1⊥平面BCC1B1得到兩對向量的數(shù)量積等于0，得到關(guān)于所設(shè)的未知量的方程，解方程即可．
解答：精英家教網(wǎng)解：以D為原點，DA、DC、DD1所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）
（1）∵
AB1
=（-a，a，a），
DD1
=（0，0，a），
∴cos＜
AB
1，
DD1
＞=
AB
1•
DD
1
AB
1•
DD1
=
a2
3a2
a2
=
3
3
，
即直線AB1與DD1所成角的余角的余弦值為
3
3

（2）設(shè)F（x，0，z），
∵
BB
=（-a，-a，a），
BC
=（-2a，0，0），
FB1
=（a-x，a1，a-z），
由FB1⊥平面BCC1B1得
FB1
•
BB1
=0
FB1
•
BC
=0
即
-a(a-x)-a2+a(a-z)=0
-2a(a-x)=0
得
x=a
z=0

∴F（a，0，0），即F為DA的中點．
點評：本題考查用向量語言來表示線面的平行和垂直關(guān)系，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把理論的推導(dǎo)變化成了數(shù)字的運算，降低了題目的難度．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的三視圖如圖所示，
（1）求證：BB1∥平面D1AC；
（2）求證：平面D1AC⊥平面B1BDD1；
（3）求此四棱臺ABCD-A1B1C1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面ABCD．底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（I）求證：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（II）求側(cè)棱DD1與底面ABCD所成的角；
（III）求四棱臺ABCD-A1B1C1D1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱A1A垂直于底面AB-CD，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形A1B1C1D1是邊長為1的正方形，DD1=2．
（1）求證：平面A1ACC1丄平面B1BDD1
（2）求四棱錐A-CDD1C1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

（必做題）先閱讀：如圖，設(shè)梯形ABCD的上、下底邊的長分別是a，b（a＜b），高為h，求梯形的面積．
方法一：延長DA、CB交于點O，過點O作CD的垂線分別交AB、CD于E、F，則EF=h．
設(shè)OE=x，∵△OAB∽△ODC，∴
x
x+h
=
a
b
，即x=
ah
b-a
．
∴S梯形ABCD=S△ODC-S△OAB=
1
2
b（x+h）-
1
2
ax=
1
2
（b-a）x+
1
2
bh=
1
2
（a+b）h．
方法二：作AB的平行線MN分別交AD、BC于MN，過點A作BC的平行線AQ分別于MN、DC于PQ，則△AMP∽△ADQ．
設(shè)梯形AMNB的高為x，MN=y，
x
h
=
y-a
b-a
⇒y=a+
b-a
h
x，∴S梯形ABCD=
∫
h
0
（a+
b-a
h
x）dx=（ax+
b-a
2h
x2）
|
h
0
=ah+
b-a
2h
•h2=
1
2
（a+b）h．
再解下面的問題：
已知四棱臺ABCD-A′B′C′D′的上、下底面的面積分別是S1，S2（S1＜S2），棱臺的高為h，類比以上兩種方法，分別求出棱臺的體積（棱錐的體積=
1
3
×底面積×高）．

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