Question

【題目】設函數(shù)f（x）的解析式滿足 ．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當a=1時，試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）當a=1時，記函數(shù) ，求函數(shù)g（x）在區(qū)間 上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，

∴

∴

（2）解：當a=1時，

f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

證明：設0＜x1＜x2＜1，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，

∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0f（x1）＞f（x2）

所以，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，

同理可證得f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增

（3）解：∵ ，

∴g（x）為偶函數(shù)，

所以，∴y=g（x）的圖象關于y軸對稱，

又當 時，由（2）知 在 單調(diào)減，[1，2]單調(diào)增，

∴

∴當a=1時，函數(shù)g（x）在區(qū)間 上的值域的為

【解析】（1）根據(jù)整體思想x+1=t（t≠0），則x=t﹣1，代入即可得到答案；（2）先把解析式化簡后判斷出單調(diào)性，再利用定義法證明：在區(qū)間上取值﹣作差﹣變形﹣判斷符號﹣下結(jié)論，因解析式由分式，故變形時必須用通分．（3）根據(jù)題意判斷出函數(shù)g（x）的奇偶性，根據(jù)（2）中函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)g（x）在區(qū)間 上的值域．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的值域和函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的；單調(diào)性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較．