Question

已知函數(shù)f（x）=

x-1

ax

-lnx（a≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：ln

e2

x

≤

1+x

x

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）=

x-1

ax

-lnx的定義域為（0，+∞），求導(dǎo)f′（x）=

1

ax2

-

1

x

=

1-ax

ax2

=

1 a -x

x2

；由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）ln

e2

x

≤

1+x

x

可化為1-

1

x

-lnx≤0，故令a=1，化簡f（x）=

x-1

x

-lnx=1-

1

x

-lnx，從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

x-1

ax

-lnx的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=

1

ax2

-

1

x

=

1-ax

ax2

=

1 a -x

x2

；
①當(dāng)a＜0時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
②當(dāng)a＞0時，
當(dāng)x∈（0，

1

a

）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

a

，+∞），f′（x）＜0；
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（

1

a

，+∞）；
（2）證明：由（1）知，令a=1，
f（x）=

x-1

x

-lnx=1-

1

x

-lnx在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，
故1-

1

x

-lnx≤f（1）=1-1-0=0；
故-lnx≤

1

x

-1；
故2-lnx≤

1

x

+1；
即ln

e2

x

≤

1+x

x

．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．