Question

20．若二面角內(nèi)一點到二面角的兩個面的距離分別為a和$\sqrt{2}$a，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是75°或165°．

Answer 1

分析 二面角α-l-β中，PA⊥α，PB⊥β，PO⊥l，PA=a，PB=$\sqrt{2}a$，PO=2a，連結(jié)AO、BO，則∠AOB是二面角的平面角，由此能求出結(jié)果．

解答 解：如圖，二面角α-l-β中，PA⊥α，PB⊥β，PO⊥l，
PA=a，PB=$\sqrt{2}a$，PO=2a
連結(jié)AO、BO，則∠AOB是二面角的平面角，
∵AO⊥l，BO⊥l，PO⊥l，∴AOBP是平面圖形，
∴∠POA=30°，∠POB=45°，
如圖一，∠AOB=∠POA+∠POB=30°+45°
=75°．
如圖二，∠AOB=180°-（∠POB-∠POA）
=180°-（45°-30°）=165°．
故答案為：75°或165°．

點評 本題主要考查了二面角的平面角及求法，求二面角，關(guān)鍵是構(gòu)造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂線定理和通過求法向量的夾角，然后再將其轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．