Question

8．如圖，四邊形 A BCD為平行四邊形，且SD=2，SC=DC=AS=AD=$\sqrt{2}$，平面 ASD⊥平面SDC．
（1）求證：SD⊥AC；
（2）求點D到面SBC的距離．

Answer 1

分析 （1）由SD=2，$SC=DC={A}S={A}D=\sqrt{2}$，可得△DCS和△ADS都是以SD為斜邊的等腰直角三角形．利用等腰三角形的性質可得：A O⊥SD，C O⊥SD．可得SD⊥平面 即可證明結論．
（2）如圖將四棱錐S-A BCD補成三棱柱 ADS-B TC，設C T的中點 O₁，連接S O₁和 B O₁，可得$∠S{{O}_1}{B}=\frac{π}{2}$．由已知可得△S BC為等邊三角形，又${V_{{B}-SCD}}={V_{{A}-SCD}}=\frac{1}{3}{S_{△SCD}}•{A}{O}=\frac{1}{3}$，設點D到面S BC的距離為h，V _B-SCD=V_D-SBC，即可得出．

解答 （1）證明：∵SD=2，$SC=DC={A}S={A}D=\sqrt{2}$，
∴△DCS和△ADS都是以SD為斜邊的等腰直角三角形．
取SD的中點 O，連接 A O，C O，則 A O⊥SD，C O⊥SD．
∴SD⊥平面 A OC，又 AC?平面 A OC，∴SD⊥AC．
（2）解：如圖將四棱錐S-A BCD補成三棱柱 ADS-B TC，
設C T的中點 O₁，連接S O₁和 B O₁，則$∠S{{O}_1}{B}=\frac{π}{2}$．
∵B O₁=A O=1，S O₁=C O=1，∴$S{B}=\sqrt{2}$，
即△S BC為等邊三角形，∴${S_{△S{B}C}}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又${V_{{B}-SCD}}={V_{{A}-SCD}}=\frac{1}{3}{S_{△SCD}}•{A}{O}=\frac{1}{3}$，
設點D到面S BC的距離為h，
∵V _B-SCD=V_D-SBC，∴$\frac{1}{3}{S_{△S{B}C}}h=\frac{1}{3}$，即$h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關系、距離的計算、線面垂直判定與性質定理、等腰與等邊三角形的性質、等體積法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．