Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.

(1)求異面直線BF與DE所成的角的大小；

(2)證明平面AMD⊥平面CDE；

(3)求銳二面角A­CD­E的余弦值．

Answer 1

解　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原 點(diǎn)．設(shè)AB＝1，依題意得B(1，0，0)，

C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(xiàn)(0，0，1)，

M(，1，)．

(1)＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，

于是cos〈，〉＝＝＝.

所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°.

(2)證明　由＝(，1，)，＝(－1，0，1)，

＝(0，2，0)，可得·＝0，·＝0.

因此，CE⊥AM，CE⊥AD.

又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.

而CE⊂平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.

(3)設(shè)平面CDE的法向量為u＝(x，y，z)，

則于是令x＝1，可得u＝(1，1，1)．

又由題設(shè)，平面ACD的一個(gè)法向量為v＝(0，0，1)．

所以，cos〈u，v〉＝＝＝.

因?yàn)槎�面角A­CD­E為銳角，所以其余弦值為.