Question

2．已知函數(shù)f（x）=2cosx（cosx-sinx）最小正周期為π，當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，得出結論．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cosx（cosx-sinx）=2cos²x-2sinxcosx=cos2x-sin2x+1=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
當x∈[0，$\frac{π}{6}$]時，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，cos$\frac{7π}{12}$=cos（$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=cos$\frac{π}{3}$cos$\frac{π}{4}$-sin$\frac{π}{3}$sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，
cos（2x+$\frac{π}{4}$）∈[$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，f（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1∈[$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，2]，
故答案為：π； $\frac{3-\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．