Question

已知函數(shù)g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)，求實數(shù)a的最小值；
（Ⅲ）若函數(shù)h（x）=g（x）-bx²恰有兩個零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的零點

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)g′（x）=

lnx-1

ln2x

，從而寫出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f（x）=

x

lnx

-ax，則原問題可化為f′（x）=

lnx-1

ln2x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≥

lnx-1

ln2x

在（1，+∞）上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為最值問題；
（Ⅲ）由函數(shù)h（x）=g（x）-bx²恰有兩個零點可得b=

1

xlnx

有兩個不同的實數(shù)根，即

1

b

=xlnx有兩個不同的實數(shù)根，從而化為求k（x）=xlnx的值域．

解答： 解：（Ⅰ）g′（x）=

lnx-1

ln2x

，
故g（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，e）；
單調(diào)增區(qū)間是[e，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=

x

lnx

-ax，
則f′（x）=

lnx-1

ln2x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx-1

ln2x

在（1，+∞）上恒成立，
∵

lnx-1

ln2x

=-（

1

lnx

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
∴a≥

1

4

，
故實數(shù)a的最小值為

1

4

；
（Ⅲ）∵函數(shù)h（x）=g（x）-bx²恰有兩個零點，
∴b=

1

xlnx

有兩個不同的實數(shù)根，
故

1

b

=xlnx有兩個不同的實數(shù)根，
設(shè)k（x）=xlnx，
則k′（x）=lnx+1，
則k（x）在（0，+∞）上有最小值，
即k_min（x）=k（

1

e

）=-

1

e

；
當(dāng)x₊→0時，k（x）→0，
當(dāng)x→+∞時，k（x）→+∞，
故b＜-e．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，恒成立問題用到了分離常數(shù)法，屬于難題．