【題目】在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EF∥DB.
(1)已知AB=BC,AE=EC,求證:AC⊥FB;
(2)已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn),求證:GH∥平面ABC.
【答案】
(1)
證明:如圖所示,
∵D是AC的中點(diǎn),AB=BC,AE=EC,∴△BAC、△EAC都是等腰三角形,
∴BD⊥AC,ED⊥AC.
∵EF∥DB,∴E、F、B、D四點(diǎn)共面,這樣,AC垂直于平面EFBD內(nèi)的兩條相交直線ED、BD,
∴AC⊥平面EFBD.
顯然,F(xiàn)B平面EFBD,∴AC⊥FB
(2)
解:已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn),再取CF的中點(diǎn)O,則OG∥EF,∵OG∥BD,
∴OG∥BD,而BD平面ABC,∴OG∥平面ABC.
同理,OH∥BC,而BC平面ABC,∴OH∥平面ABC.
∵OG∩OH=O,∴平面OGH∥平面ABC,∴GH∥平面ABC.
【解析】(1)由條件利用等腰三角形的性質(zhì),證得BD⊥AC,ED⊥AC,再利用直線和平面垂直的判定定理證得AC⊥平面EFBD,從而證得AC⊥FB.(2)再取CF的中點(diǎn)O,利用直線和平面平行的判定定理證明 OG∥平面ABC,OH∥平面ABC,可得平面OGH∥平面ABC,從而證得GH∥平面ABC.;本題主要考查直線和平面垂直的判定和性質(zhì),直線和平面平行的判定與性質(zhì),屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從含有兩件正品a,b和一件次品c的3件產(chǎn)品中每次任取一件,連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中,恰有一件是次品的概率。
(1)每次取出不放回;(2)每次取出放回;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
如圖所示,在多面體 中,四邊形 均為正方形,點(diǎn) 為 的中點(diǎn),過的平面交 于 點(diǎn).
(1) 證明: ∥;
(2) 求二面角 的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列等式:
(sin )﹣2+(sin )﹣2= ×1×2;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+sin( )﹣2= ×2×3;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×3×4;
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+sin( )﹣2= ×4×5;
…
照此規(guī)律,
(sin )﹣2+(sin )﹣2+(sin )﹣2+…+(sin )﹣2= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P-ABC中,底面ABCD為平行四邊形,,O為AC的中點(diǎn),平面M為PD的中點(diǎn)。
(1)證明平面.
(2)證明平面 .
(3)求三棱錐P-MAC體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1 .
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)令cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)列{An}、{Bn}分別在某銳角的兩邊上且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+1 , n∈N* , |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+1 , n∈N* , (P≠Q(mào)表示點(diǎn)P與Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn為△AnBnBn+1的面積,則( 。
A.{Sn}是等差數(shù)列
B.{Sn2}是等差數(shù)列
C.{dn}是等差數(shù)列
D.{dn2}是等差數(shù)列
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求證:BF⊥平面ACFD;
(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值.
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