Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（1）求函數(shù)f（x）為奇函數(shù)時a的值．
（2）探索f（x）的單調(diào)性、并運用單調(diào)函數(shù)定義給出證明．
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，關(guān)于x的不等式f（x²-kx+1）＞0恒成立．求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的定義域為R，直接由f（0）=0求解a的值；
（2）由2^x為增函數(shù)，得到

2

2x+1

為減函數(shù)，進(jìn)一步得到f（x）=a-

2

2x+1

為增函數(shù)，然后直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；
（3）由函數(shù)是奇函數(shù)可得f（0）=0，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，最后利用二次不等式所對應(yīng)方程的判別式小于0得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

的定義域為R，且函數(shù)為奇函數(shù)，則
f（0）=a-

2

20+1

=0，即a=1；
（2）函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

在（-∞，+∞）上為增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁，x₂是（-∞，+∞）上的任意兩個數(shù)，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=a-

2

2x1+1

-(a-

2

2x2+1

)=

2x1+1-2x2+1

(2x1+1)(2x2+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴2x1+1＜2x2+1，
∴

2x1+1-2x2+1

(2x1+1)(2x2+1)

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時關(guān)于x的不等式f（x²-kx+1）＞0恒成立，
即f（x²-kx+1）＞f（0）成立，
又函數(shù)f（x）為增函數(shù)，
則x²-kx+1＞0恒成立，
∴△=（-k）²-4＜0，解得-2＜k＜2．

點評：本題考查了函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，考查了函數(shù)單調(diào)性的證明方法，訓(xùn)練了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，是中檔題．