Question

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在X軸上，F(xiàn)₁,F₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，△MF₁F₂的面積為4，過(guò)F1的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，△ABF₂的周長(zhǎng)為.

(Ⅰ)求此橢圓的方程；

(Ⅱ）若N是左標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，G是△MF₁F₂的重心，且，求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程；

（Ⅲ）點(diǎn)p審此橢圓上一點(diǎn)，但非短軸端點(diǎn)，并且過(guò)P可作（Ⅱ）中所求得軌跡的兩條不同的切線，、R是兩個(gè)切點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意設(shè)橢圓的方程為，因?yàn)?sub>是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的面積為，的周長(zhǎng)為

所以

所以，所求的橢圓方程為                   ……………………4分

（Ⅱ）設(shè)，則由（Ⅰ）得所以，

從而 ．因?yàn)?sub>, 

所以有,

由于是的重心，即應(yīng)當(dāng)是一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，

因此所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.          ………………7分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡方程為，即．

顯然此軌跡是以點(diǎn)）為圓心，半徑的圓除去兩點(diǎn)剩余部分的部分曲線．

設(shè)，則根據(jù)平面幾何知識(shí)得.

,                                                     …………………………10分

從而根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義及均值不等式得

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”   （※） …………………………12分

由點(diǎn)在橢圓上（非短軸端點(diǎn)），并且在圓外，可知

由于，所以條件（※）的要求滿足．

因此的最小值為                 …………………………13分