Question

9．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F₁（-2，0），點(diǎn)B（2，$\sqrt{2}$）在橢圓C上，直線y=kx（k≠0）與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N；
（1）求橢圓C的方程；
（2）以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組得到a²，b²的值，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），寫出AE、AF所在直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，得到以MN為直徑的圓的方程，由圓的方程可知以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（±2，0）．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：a²=8，b²=4．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）如圖，設(shè)F（x₀，y₀），E（-x₀，-y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，
A（-$2\sqrt{2}$，0），
AF所在直線方程$\frac{y}{{y}_{0}}=\frac{x+2\sqrt{2}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，取x=0，得$y=\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴N（0，$\frac{2\sqrt{2}{y}_{0}}{{x}_{0}+2\sqrt{2}}$），
AE所在直線方程為$\frac{y}{-{y}_{0}}=\frac{x+2\sqrt{2}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，取x=0，得y=$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$，
∴M（0，$\frac{-2\sqrt{2}{y}_{0}}{-{x}_{0}+2\sqrt{2}}$）．
則以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為（0，$\frac{-2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$），
半徑r=$\frac{8{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}$，
圓的方程為${x}^{2}+（y+\frac{2\sqrt{2}{x}_{0}{y}_{0}}{8-{{x}_{0}}^{2}}）^{2}=\frac{64{{y}_{0}}^{2}}{（8-{{x}_{0}}^{2}）^{2}}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
即${x}^{2}+（y+\frac{\sqrt{2}{x}_{0}}{{y}_{0}}）^{2}$=$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$．
取y=0，得x=±2．
∴以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（±2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查整體運(yùn)算思想方法，是中檔題．