Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的焦距為2，且過點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（�。┰O直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的標準方程及參數(shù)a，b，c之間的關系即可求出；
（2）（i）利用斜率的計算公式、三點共線的斜率性質、點在橢圓上的性質即可證明；
（ii）利用直線的點斜式及其（i）的有關結論即可證明．
解答：解：（1）由題意得2c=2，∴c=1，又，a²=b²+1．
消去a可得，2b⁴-5b²-3=0，解得b²=3或（舍去），則a²=4，
∴橢圓E的方程為．
（2）（�。┰OP（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y），則，，
∵A，P，M三點共線，∴，∴，
∵P（x₁，y₁）在橢圓上，∴，故為定值．
（ⅱ）直線BP的斜率為，直線m的斜率為，
則直線m的方程為，====，
即．
所以直線m過定點（-1，0）．
點評：熟練掌握橢圓的定義及其性質、斜率的計算公式及其直線的點斜式是解題的關鍵．善于利用已經證明過的結論是解題的技巧．