Question

20．一個(gè)直徑AB=2的半圓，過(guò)A作這個(gè)圓所在平面的垂線，在垂線上取一點(diǎn)S，使AS=AB，C為半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N，M分別為A在SC，SB上的射影．當(dāng)三棱錐S-AMN的體積最大時(shí)，∠BAC的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 推導(dǎo)出SA⊥BC，BC⊥AC，從而B(niǎo)C⊥平面SAC，再推導(dǎo)出AN⊥平面SBC，得AN⊥SB，又AM⊥SB，從而SM為三棱錐S-AMN中平面AMN上的高，進(jìn)而得到當(dāng)AN=MN=1時(shí)，△AMN的面積S取得最大值，由此能求出當(dāng)三棱錐S-AMN的體積最大時(shí)∠BAC的余弦值．

解答 解：如圖所示，SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
所以SA⊥BC，又由BC⊥AC，SA∩AC=A，
SA，AC?平面SAC，所以BC⊥平面SAC，
又由AN?平面SAC，所以BC⊥AN，
又由AN⊥SC，SC∩BC=C，SC，BC?平面SBC，
所以AN⊥平面SBC，
又由SB?平面SBC，所以AN⊥SB，
又由AM⊥SB，AN∩AM=A，AM，AN?平面AMN，
所以SB⊥平面AMN，即SM為三棱錐S-AMN中平面AMN上的高，
因?yàn)镾A=AB=2，所以AM=SM=$\sqrt{2}$，
而AN⊥MN，故△AMN是斜邊為$\sqrt{2}$的直角三角形，
故當(dāng)AN=MN=1時(shí)，△AMN的面積S取得最大值，
∵SA=2，AN=1，AN⊥SC，∴∠ASC=30°，∴SC=2AC，
∴SA²=（2AC）²-AC²，即4=3AC²，解得AC=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以cos$∠BAC=\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故當(dāng)三棱錐S-AMN的體積最大時(shí)∠BAC的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．