Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a-1．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上具有單調(diào)性，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為-3，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的最值及其幾何意義

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=a，由函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上具有單調(diào)性，可得區(qū)間[-1，1]在對(duì)稱(chēng)軸的同一側(cè)，進(jìn)而可得a的取值范圍；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值為-3，分類(lèi)討論區(qū)間[-1，1]和對(duì)稱(chēng)軸的關(guān)系，進(jìn)而可得滿(mǎn)足條件的a值．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-2ax+a-1的對(duì)稱(chēng)軸為x=a
∵f（x）在區(qū)間[-1，1]上具有單調(diào)性，
∴a≤-1或a≥1…（4分）
（2）①當(dāng)a≤-1時(shí)，
f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-1）=3a=-3，
得a=-1（符合）…（7分）
②當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，
f（x）在[-1，a]上是減函數(shù)，在（a，1]上是增函數(shù)，
∴f(x)min=f(a)=-a2+a-1=-3，
得a=-1或a=2（均不符合，舍去）…（10分）
③當(dāng)a≥1時(shí)，
f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=-a=-3，
得a=3（符合）…（13分）
綜上：a=-1或a=3…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．