Question

f(x)=-x2+ax+

1

2

-

a

4

在區(qū)間[0，1]上的最大值為2，求a的值．

Answer 1

分析：將函數(shù)配方成頂點(diǎn)式：y=-（x-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

，得y=f（x）的圖象是開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=

a

2

對稱．然后根據(jù)區(qū)間[0，1]與對稱軸的位置關(guān)系進(jìn)行討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與最大值為2，列出關(guān)于a的方程并解之，可得實(shí)數(shù)a的值，最后綜合可得符合題意的答案．

解答：解：配方，得f(x)=-x2+ax+

1

2

-

a

4

=-（x-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

∴函數(shù)y=f（x）的圖象是開口向下的拋物線，關(guān)于直線x=

a

2

對稱
（1）當(dāng)

a

2

∈[0，1]時(shí)，即0≤a≤2時(shí)，
f（x）的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

-

a

4

+

1

2

=2，解之得a=-2或3，經(jīng)檢驗(yàn)不符合題意；
（2）當(dāng)

a

2

＞1時(shí)，即a＞2時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，1]上是增函數(shù)
∴f（x）的最大值為f（1）=-1+a+

1

2

-

a

4

=2，解之得a=

10

3

（3）當(dāng)

a

2

＜0時(shí)，即a＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[0，1]上是減函數(shù)
∴f（x）的最大值為f（0）=

1

2

-

a

4

=2，解之得a=-6
綜上所述，得當(dāng)f（x）區(qū)間[0，1]上的最大值為2時(shí)，a的值為-6或

10

3

．

點(diǎn)評：本題給出含有參數(shù)的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，求參數(shù)a的值，著重考查了二次函數(shù)的圖象與它在閉區(qū)間上求最值的知識，屬于中檔題．