Question

設y關于變量x，θ（x，θ∈R）的函數(shù)為：y=f（x，θ）=x²-2xcos2θ+cos²2θ-sin²θ+4sinθcosθ+2cos²θ，求y=f（x，θ）的最小值，并求此時θ和x的值．

Answer 1

分析：對函數(shù)進行配方可得y=（x-cos2θ）²+3cos²θ+2sin2θ-1=(x-cos2θ)2+

5

2

sin(2θ+arctg

3

4

)+

1

2

，結合二次函數(shù)的性質可求函數(shù)的最小值及取得最小值的x

解答：解：y=（x-cos2θ）²+3cos²θ+2sin2θ-1=(x-cos2θ)2+

5

2

sin(2θ+arctg

3

4

)+

1

2

…（4分）
當且僅當

x=cos2θ 2θ+arctg 3 4 =2kπ- π 2

…（4分）
即

θ=kπ- π 4 - 1 2 arctg 3 4 x=cos2θ=- 3 5

（k∈Z）時…．…（6分）
ymin=0-

5

2

+

1

2

=-2…..（2分）

點評：本題主要考查了利用配方法求解二次函數(shù)的最小值及取得最小值的條件的判斷，屬于基礎試題