Question

【題目】已知函數(shù)，，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若，求證：對任意，；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）當時，，只需證明的最小值大于等于零即可；

（2）法一：函數(shù)有兩個極值點，即在上有兩個不等根，轉(zhuǎn)化為在上有兩個不等根，注意到和函數(shù)互為反函數(shù)，將所求問題進一步轉(zhuǎn)化為和函數(shù)有兩個不同的交點，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)解決即可.法二：有兩個變號零點，分，兩種情況討論，在討論時，注意二次求導(dǎo)，結(jié)合極限即可得到答案.

（1）當時，，，

在上單調(diào)遞增，

，

∴當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

∴，證畢．

（2）法一：函數(shù)有兩個極值點，

即有兩個變號零點，

即在上有兩個不等根，

即在上有兩個不等根，

即函數(shù)和的圖象有兩個不同的交點．

∵函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，

∴只需函數(shù)和函數(shù)有兩個不同的交點，

即方程有兩個不等正根，

令，，

∴當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

∴，

又∵時，；時，，

∴．

法二：函數(shù)有兩個極值點，即有兩個變號零點，

當時，，由（1），則在

上是增函數(shù)，無極值點，

當時，令，則，因為，

，且在上是增函數(shù)，存在，使得，

當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞

減，在上單調(diào)遞增，則，由，

得，則，令，

，在上是減函數(shù)，所以，

即，又時，；時，，故在

上有兩個變號的零點，從而函數(shù)有兩個極值點，所以.

【點晴】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、證明不等式的問題，考查學生的邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.