Question

10．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，又點$A（{1，\sqrt{2}}）$在該橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為$\sqrt{2}$的直線l與橢圓E交于不同的兩點B，C，求△ABC的最大面積．

Answer 1

分析 （1）利用離心率以及點的坐標(biāo)滿足橢圓方程，求解橢圓的幾何量，即可得到橢圓的方程．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式，求出三角形的面積，利用基本不等式求解△ABC的面積的最大值．

解答 解：（1）依題意，得 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}{=b}^{2}{+c}^{2}}\\{\frac{1}{^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\sqrt{2}}\\{c=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
BC的方程為y=$\sqrt{2}$x+m，
則有 $\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，
整理，得4x²+2$\sqrt{2}$mx+（m2-4）=0，
由△=（2$\sqrt{2}$m）²-16（m²-4）=-8m²+64＞0，
解得-2$\sqrt{2}$＜m＜2$\sqrt{2}$，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得：x₁+x₂=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4}$，
|BC|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{1+2}$|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{6}}{2}$$\sqrt{8{-m}^{2}}$，
設(shè)d為點A到直線BC的距離，
則d=$\frac{|\sqrt{2}-\sqrt{2}+m|}{\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{+（-1）}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$|m|，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|BC|•d=$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{m}^{2}（8{-m}^{2}）}$．
∵$\sqrt{{m}^{2}（8{-m}^{2}）}$≤$\frac{{m}^{2}+8{-m}^{2}}{2}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時取等號，
∴當(dāng)m=±2時，△ABC的面積取得最大值$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．