Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4AD=CD=2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖所示．
（1）求證：BC⊥平面ACD
（2）求BD與平面ABC所成角θ的正弦值．

Answer 1

分析：（1）法一：由題設(shè)條件及圖形，取AC中點(diǎn)O，連接DO，可根據(jù)勾股定理證明AC⊥BC，由線面垂直的性質(zhì)證明DO⊥BC，再有線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
法二：觀察題設(shè)條件發(fā)現(xiàn)，本題可以借助面面平行的性質(zhì)定理證明線面垂直，只須證明AC⊥BC，易證；
（2）根據(jù)題設(shè)條件及圖形，作DH⊥AC于H，連接HB，可證得∴∠DBH即為BD與平面ABC所成角θ，在三角形中求值即可．

解答：解：（1）法一：由于AC=BC=2

2

，從而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
取AC中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DO?平面ACD，從而DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC，又DO∩AC=O，
∴BC⊥平面ACD
法二：由于AC=BC=2

2

，從而AC²+BC²=AB²故AC⊥BC，
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，從而得BC⊥平面ACD
（2）作DH⊥AC于H，連接HB，∵平面ADC⊥平面ABC，且DH?平面ACD，
∴DH⊥平面ABC，
∴∠DBH即為BD與平面ABC所成角θ
∴sinθ=sin∠DBH=

DH

DB

=

2

2 3

=

6

6

點(diǎn)評：本題考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面所成的角，本題在證明線面垂直時(shí)用了兩種方法，從兩種方法的證明過程看，在做題時(shí)根據(jù)題設(shè)條件及相應(yīng)背景選擇合適的方法對簡化解題很有幫助，此種判斷能力源于對此類題各種解法的了解，只有了解的全面才有能力鑒別出那種方法是簡單的．求線面角時(shí)要注意做題的步驟：作角，證角，求角，不要忘記證明所做的角即是所求的角，這是一個(gè)易失分點(diǎn)．