Question

已知橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上動點．
（1）求|PF₁|•|PF₂|的最大值；
（2）∠F₁PF₂=60°時，求△F₁PF₂的面積S；
（3）已知點A（2，2），求|PA|+|PF₂|的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y），由焦半徑公式|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex），能求出|PF₁|•|PF₂|的最大值．
（2）由橢圓的焦點三角形面積公式△F₁PF₂的面積S=b²tan

θ

2

，能求出△F₁PF₂的面積．
（3）由已知條件推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F₁共線時|PA|+|PF₂|取最小值，由此能求出這個最小值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上動點，
∴a=5，b=3，c=4，e=

c

a

=

4

5

，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）
設(shè)P（x，y），由焦半徑公式，
|PF₁|•|PF₂|=（a+ex）（a-ex）=25-

16x2

25

，
∴當(dāng)x=0時，|PF₁|•|PF₂|的最大值為25．
（2）∵∠F₁PF₂=60°，
由橢圓的焦點三角形面積公式：
△F₁PF₂的面積S=b²tan

θ

2

=9•tan30°=3

3

，
∴△F₁PF₂的面積S=3

3

．
（3）|PA|+|PF₂|=|PA|+（2a-|PF₁|）=2a+（|PA|-|PF₁|），
由于-|AF₁|≤|PA|-|PF₁|≤|AF₁|，
當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F₁共線時取等號，
∴|PA|+|PF₂|的最小值=2a-|AF₂|=10-

(-4-2)2+(0-2)2

=10-2

10

．

點評：本題考查橢圓中兩條線段長的乘積的最大值的求法，考查三角形面積的求法，考查兩條線段和的最小值的求法，解題時要熟練掌握橢圓的簡單性質(zhì)．