Question

下列正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．
①連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)的充要條件為f（a）•f（b）＜0；
②若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，則f（1）+f′（1）=3；
③對(duì)?x＞0，不等式2^x+

1

2x

-a＞0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2）；
④若f（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，則f（2）的值用二進(jìn)制表示為111101．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，舉例說(shuō)明連續(xù)函數(shù)f（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）在區(qū)間（0，4）上有兩個(gè)零點(diǎn)，但f（0）•f（4）＞0，可判斷①；
②，依題意，可知f′（1）=

1

2

，f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

，從而可判斷②；
③，對(duì)?x＞0，不等式2^x+

1

2x

-a＞0恒成立?a＜（2^x+

1

2x

）_min，而當(dāng)x＞0時(shí)，2^x+

1

2x

無(wú)最小值，從而可判斷③；
④，用二進(jìn)制表示為111101，與f（2）=2⁵+2⁴+2³+2×2+0×2¹+1比較即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)不能得出f（a）•f（b）＜0，如f（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）在區(qū)間（0，4）上有兩個(gè)零點(diǎn)，但f（0）•f（4）＞0，即充分性不成立；反之，則可，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線方程是y=

1

2

x+2，
則f（1）的值與y=

1

2

x+2中，當(dāng)x=1時(shí)的函數(shù)值相等，即f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

，又f′（1）=

1

2

（為切線方程y=

1

2

x+2的斜率），故f（1）+f′（1）=3，②正確；
對(duì)于③，?x＞0，不等式2^x+

1

2x

-a＞0恒成立，則a＜（2^x+

1

2x

）_min=2，
而當(dāng)x＞0時(shí)，2^x+

1

2x

無(wú)最小值，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍不是（-∞，2），故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，因?yàn)閒（x）=x⁵+x⁴+x³+2x+1，（111101）₂=2⁵+2⁴+2³+2×2+0×2¹+1=f（2），故④正確．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，綜合考查函數(shù)的零點(diǎn)、充分必要條件的概念及應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、二進(jìn)制的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想．