Question

已知數(shù)列滿足對任意的，都有且.

（1）求的值；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1） （2）.（3）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)， 時直接代入條件且可求

（2）遞推一項(xiàng)，然后做差得，所以

由于a2－a1＝1，即當(dāng)時都有

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故

（3）由（2）知則

利用裂項(xiàng)相消法得Sn,根據(jù)單調(diào)遞增得

要使不等式對任意正整數(shù)恒成立，只要

可求得實(shí)數(shù)的取值范圍是.

試題解析：(（1）當(dāng)時，有，由于，所以

當(dāng)時，有，將代入上式，由于，所以

（2）由于，①

則有②

②－①，得

由于，所以③

同樣有()，④

③－④，得，所以

由于a2－a1＝1，即當(dāng)時都有

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故

（3）由（2）知

則

所以

∵∴數(shù)列單調(diào)遞增．

所以

要使不等式對任意正整數(shù)恒成立，只要

∵

∴，即.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

考點(diǎn)：不等式與數(shù)列綜合題.