Question

設(shè)函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明；
（2）證明函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）若x∈[3，+∞）時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再用奇函數(shù)的定義判斷；（2）不妨設(shè)，則可知函數(shù)為減函數(shù)，又，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；（3）易知取3時(shí)，函數(shù)取最小值，故可求．
解答：解：（1）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
由得x＞1或x＜-1，又，∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)
（2）不妨設(shè)，則，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，∴，∴u（x₁）＞u（x₂），
又，∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由題意，x∈[3，+∞）時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于，解得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的定義及單調(diào)性的證明，同時(shí)考查了分離參數(shù)法研究恒成立問題．