Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點．

(1)證明：CD⊥平面PAE；

(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過計算得，而是中點，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個角相等，可得，同樣在直角梯形中可計算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標(biāo)系，通過空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點的坐標(biāo)，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等．

試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，

是的中點，所以

所以

而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE．

（Ⅱ）過點Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是為直線ＰＢ與平面PAE

所成的角，且．

由知，為直線與平面所成的角．

由題意，知

因為所以

由所以四邊形是平行四邊形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面積為所以四棱錐的體積為

解法2：如圖（2），以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)則相關(guān)的各點坐標(biāo)為：

（Ⅰ）易知因為

所以而是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以

（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與

所成的角和PB與所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得．

又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為

．