Question

【題目】為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝百米，且△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．?dāng)M修建兩條小路AC，BD（路的寬度忽略不計(jì)），設(shè)∠BAD＝，(，)．

（1）當(dāng)cos＝時(shí)，求小路AC的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)草坪ABCD的面積最大時(shí)，求此時(shí)小路BD的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinθ，根據(jù)正弦定理可求sin∠ADB，進(jìn)而可求cos∠ADC的值，在△ACD中，利用余弦定理可求AC的值．

（2）由（1）得：BD2＝14﹣6cosθ，根據(jù)三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求．SABCD＝7sin（θ﹣φ），結(jié)合題意當(dāng)θ﹣φ時(shí)，四邊形ABCD的面積最大，即θ＝φ，此時(shí)cosφ，sinφ，從而可求BD的值．

（1）在中，由，

得，又，∴．

∵ ∴

由得：，解得：，

∵是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 ∴且

∴

在中， ，

解得：

（2）由（1）得：，

，此時(shí)，，且

當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，即，此時(shí)，

∴，即

答：當(dāng)時(shí)，小路的長(zhǎng)度為百米；草坪的面積最大時(shí)，小路的長(zhǎng)度為百米．