Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，直線PC與底面ABCD所成的角為45°，E、F分別是BC、PC的中點．
（Ⅰ）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件，容易得出AE⊥BC，AE⊥AD，而PA⊥平面ABCD，所以便可得到AE⊥平面PAD，所以得到AE⊥PD；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）可知AE，AD，PA三條直線兩兩垂直，所以可分別以這三條直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后分別設(shè)平面AEF，和平面ACF的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，

n2

=(x2，y2，z2)，可設(shè)菱形的邊長為2，根據(jù)條件可求出向量

AE

，

AF

，

AC

的坐標(biāo)，根據(jù)法向量和這三個向量的垂直關(guān)系即可求出

n1

，

n2

的坐標(biāo)，所以求這兩個向量夾角的余弦值就可得到二面角E-AF-C的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）BC=AB，∠ABC=60°，∴AE⊥BC，∴△ABC是等邊三角形；
又E是BC中點，∴AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD；
PA⊥面ABCD，AE?平面ABCD，PA⊥AE，即AE⊥PA，AD∩PA=A；
∴AE⊥平面PAD，∴AE⊥PD；
（Ⅱ）以A為原點，

AE

、

AD

、

AP

分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系；
根據(jù)已知條件及圖形知，∠PCA是直線PC與底面ABCD所成的角，∴∠PCA=45°，∴PA=AC；
設(shè)菱形ABCD的邊長為2，∴A（0，0，0），E(

3

，0，0)，P（0，0，2），C(

3

，1，0)，F(

3

2

，

1

2

，1)；
設(shè)平面AEF的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，則

AE • n1 =0 AF • n1 =0

，

AE

=(

3

，0，0)，

AF

=(

3

2

，

1

2

，1)；
∴

3 x1=0 3 2 x1+ 1 2 y1+z1=0

令y₁=2得，∴

n1

=(0，2，-1)；
同理可得平面PAC的法向量

n1

=(-

3

，3，0)；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 |•| n2 |

=

15

5

∴二面角E-AF-C的余弦值為

15

5

．

點評：考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，以及用向量的方法解決二面角的問題，平面法向量的概念，向量夾角的余弦公式．