Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法，根據(jù)a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比數(shù)列，建立方程組，可求首項(xiàng)與公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）先利用錯位相減法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，再確定其單調(diào)性，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由已知得：
即：------（2分）
解之得：---------------------（4分）
所以a_n=2n-5，（n≥1）-------------------------（6分）
（Ⅱ）證明：∵．
∴，①
．②
①-②得：=
得，----------（10分）
∵，
∴T_n＜-1．------------------（12分）
∵，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）-----------（13分）
而T₁＞T₂，所以T₂最小
又，所以
綜上所述，．----------（14分）
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)列的單調(diào)性，正確求數(shù)列的通項(xiàng)與求和是關(guān)鍵．