Question

8．四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，AC與BD交于點O，點G為BD上一點，BG=2GD，$\overrightarrow{PA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{c}$，用基底{$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$}表示向量$\overrightarrow{BG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法則、平行四邊形法則即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{PG}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{PA}$-$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PA}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$，
而$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PG}$+$\overrightarrow{GB}$，
故$\overrightarrow{BG}$=$\overrightarrow{PG}$-$\overrightarrow{PB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{4}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{c}$．

點評 本題考查了向量的三角形法則、平行四邊形法則及其運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．