Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，且公差d≠0，其前n項(xiàng)和為S_n，且a₁，a₄，a₁₃分別是等比數(shù)列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，利用a₁，a₄，a₁₃分別是等比數(shù)列{b_n}的b₂，b₃，b₄，求出公差，即可求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出前n項(xiàng)和，可得數(shù)列通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則
∵a₁，a₄，a₁₃分別是等比數(shù)列{b_n}的b₂，b₃，b₄．
∴
∵a₁=3，∴d²-2d=0
∴d=2或d=0（舍去）
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1
∵，
∴b_n=3^n-1；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知
∴==（）
∴==
=＜
∵≤=
∴≥
∴
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．