Question

【題目】如圖，PA⊥平面AC，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；
（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣B為45°，AD=2，CD=3，求點F到平面PCE的距離．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取PC中點M，連接ME、MF． ∵ ，
∴AE∥FM，且AE=FM，
即四邊形AFME是平行四邊形，
∴AF∥EM，∵AF平在PCE，
∴AF∥平面PCE．
（Ⅱ）∵PA⊥平面AC，CD⊥AD，
根據(jù)三垂線定理知，CD⊥PD，
∴∠PDA是二面角，
P﹣CD﹣B的平面角，則∠PDA=45°
于是，△PAD是等腰直角三角形，
∴AF⊥PD，又AF⊥CD，
∴AF⊥面PCD．而EM∥AF，
∴EM⊥面PCD．又EM平面PEC，
∴面PEC⊥面PCD．…（8分）
在面PCD內過F作FH⊥PC于H，
則FH為點F到平面PCE的距離．
由已知，PD=2 ，PF= ．
∵△PFH∽△PCD，
∴
【解析】（Ⅰ）取PC中點M，連接ME、MF．由 ，知AE∥FM，且AE=FM，由此能證明四邊形AFME是平行四邊形，從而得到AF∥平面PCE．（Ⅱ）由PA⊥平面AC，CD⊥AD，根據(jù)三垂線定理知，CD⊥PD，故∠PDA是二面角P﹣CD﹣B的平面角，所以△PAD是等腰直角三角形，由AF⊥PD，AF⊥CD，得到面PEC⊥面PCD，由此入手能夠求出點F到平面PCE的距離．