Question

3．已知點(diǎn)A（0，1）與B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）都在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)M．
（1）求橢圓C的方程，并求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AD交x軸于點(diǎn)N，問(wèn)：y軸上是否存在點(diǎn)E，使得∠OEM=∠ONE？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A（0，1）與B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）都在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，利用待定系數(shù)法能求出橢圓C的方程和直線(xiàn)AB的方程，由此能求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）由已知求出D（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），直線(xiàn)AD：3x+2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，從而求出N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），設(shè)E（0，y₀），由∠OEM=∠ONE，得到|$\frac{2\sqrt{3}}{{y}_{0}}$|=|$\frac{\sqrt{3}{y}_{0}}{2}$|，從而求出y軸上是否存在點(diǎn)E（±2，0），使得∠OEM=∠ONE．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（0，1）與B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$）都在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{1}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
直線(xiàn)AB的方程為$\frac{y-1}{x}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\sqrt{3}}$，
整理，得x+2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，
當(dāng)y=0時(shí)，x=2$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（2$\sqrt{3}$，0）．
（2）∵點(diǎn)A（0，1）與B（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），O為原點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)AD交x軸于點(diǎn)N，
∴D（$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$），直線(xiàn)AD：$\frac{y-1}{x}=\frac{-\frac{1}{2}-1}{\sqrt{3}}$，即3x+2$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$=0，
令y=0，得x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴N（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
設(shè)E（0，y₀），
tan∠OEM=|$\frac{2\sqrt{3}}{{y}_{0}}$|，tan∠ONE=|$\frac{{y}_{0}}{\frac{2\sqrt{3}}{3}}$|=|$\frac{\sqrt{3}{y}_{0}}{2}$|，
∵∠OEM=∠ONE，∴tan∠OEM=tan∠ONE，
∴|$\frac{2\sqrt{3}}{{y}_{0}}$|=|$\frac{\sqrt{3}{y}_{0}}{2}$|，解得y₀=±2．
∴y軸上是否存在點(diǎn)E（±2，0），使得∠OEM=∠ONE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．