Question

16．（1）如圖，△AOB為等腰直角三角形，OA=1，OC為斜邊AB的高，P為線段OC的中點，求$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的值；
（2）已知2sin2α=1+cos2α，求tan2α的值．

Answer 1

分析 （1）可分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，根據(jù)條件即可求出O，A，P三點的坐標，從而求出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{OP}$的坐標，進而便可求出$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的值；
（2）根據(jù)二倍角的正余弦公式，可由2sin2α=1+cos2α得到4sinαcosα=2cos²α，可看出要討論cosα是否為0：cosα=0時可求出α的值，進而得出2α的值，從而求出tan2α，而cosα≠0時可求出tanα的值，根據(jù)二倍角的正切公式即可求出tan2α的值．

解答 解：（1）分別以O(shè)B，OA所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則：

O（0，0），A（0，1），B（1，0），C（$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$P（\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（\frac{1}{4}，-\frac{3}{4}），\overrightarrow{OP}=（\frac{1}{4}，\frac{1}{4}）$；
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}=\frac{1}{16}-\frac{3}{16}=-\frac{1}{8}$；
（2）由2sin2α=1+cos2α得，4sinαcosα=2cos²α；
∴若cosα=0，$α=\frac{π}{2}+kπ，k∈Z$；
∴tan2α=tan（π+2kπ）=tanπ=0；
若cosα≠0，則2sinα=cosα；
∴$tanα=\frac{1}{2}$；
∴$tan2α=\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$．

點評 考查通過建立坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，中點坐標公式，以及由點的坐標求向量坐標，向量數(shù)量積的坐標運算，二倍角的正余弦和正切公式．